В криволинейной первой четверти плоскости метод корректировки пробных решений для минимальной гладкости правой части волнового уравнения с постоянными коэффициентами

Основное содержимое статей

Ф.Е. Ломовцев

Аннотация

Предложенный ранее автором метод корректировки пробных решений одномерного волнового уравнения обобщен с прямолинейной на криволинейную первую четверть плоскости. Этот метод заключается в вычислении поправок в виде обобщенных решений однородного волнового уравнения к пробным (испытуемым) решениям, требующим завышенной гладкости правой части уравнения, с помощью корректирующей задачи Гурса. Введены новые понятия локальных и глобальных классических решений. Вычислены локальные классические решения волнового уравнения с необходимой гладкостью его правой части в криволинейной четверти плоскости. Построены два общих интеграла этого уравнения.


Цель статьи – разработка метода корректировки пробных решений волнового уравнения в криволинейной первой четверти плоскости.


Материал и методы. Материалом исследования служит общее (a1 ≠ a2) одномерное волновое уравнение с постоянными коэффициентами a1 и a2 в криволинейной первой четверти плоскости. Известен метод корректировки пробных решений этого волнового уравнения в прямолинейной первой четверти плоскости.


Результаты и их обсуждение. Введены новые понятия локальных решений, т.е. для каждой точки в отдельности, и глобальных решений, т.е. сразу на некотором множестве, одномерного волнового уравнения в первой четверти плоскости с криволинейными осями координат. Разработан метод корректировки его пробных решений до классических (дважды непрерывно дифференцируемых) решений в криволинейной первой четверти плоскости тоже с помощью корректирующей задачи Гурса, как и в случае линейной первой четверти плоскости. Корректирующая задача Гурса позволяет определить потребность корректировки, найти корректирующие обобщенные решения однородного уравнения и им осуществить корректировку пробного решения до классического решения. В результате корректировки полученные классические решения имеют минимальную (необходимую) гладкость правой части уравнения. Для нахождения в явном виде решений смешанных задач для волнового уравнения в криволинейных областях построены его два общих интеграла.


Заключение. Разработан метод корректировки пробных решений волнового уравнения в криволинейной первой четверти плоскости, которым построены его два общих интеграла для классических решений.

Статья, подробнее

Раздел
Математика